试题

题目：
青果学院（2011·普陀区二模）如图，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A与点C重合，折痕分别交AB、CD于点E、F，
（1）在图中，用尺规作折痕EF所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF的长；
（2）求∠EFC的正弦值．
答案
青果学院解：（1）作图正确（2分）
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，BC=AD．
∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2
∴由勾股定理得：AC=2
5
．（1分）
设EF与AC相交于点O，
由翻折可得AO=CO=
5
，∠AOE=90°．
∵在Rt△ABC中，tan∠1=
BC
AB
，
在Rt△AOE中，tan∠1=
EO
AO
．
∴
EO
AO
=
BC
AB
，（1分）
∴EO=
5
2
．（1分）
同理：FO=
5
2
．
∴EF=
5
．（1分）

（2）过点E作EH⊥CD垂足为点H，（1分）EH=BC=2（1分）
∴sin∠EFC=
EH
EF
=
2
5
=
2
5
5
．（1分）
青果学院解：（1）作图正确（2分）
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，BC=AD．
∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2
∴由勾股定理得：AC=2
5
．（1分）
设EF与AC相交于点O，
由翻折可得AO=CO=
5
，∠AOE=90°．
∵在Rt△ABC中，tan∠1=
BC
AB
，
在Rt△AOE中，tan∠1=
EO
AO
．
∴
EO
AO
=
BC
AB
，（1分）
∴EO=
5
2
．（1分）
同理：FO=
5
2
．
∴EF=
5
．（1分）

（2）过点E作EH⊥CD垂足为点H，（1分）EH=BC=2（1分）
∴sin∠EFC=
EH
EF
=
2
5
=
2
5
5
．（1分）
考点梳理
解直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
（1）作AC的垂直平分线即为EF，易得AC的值，利用∠1在不同直角三角形中的正切值可得EO的长，乘以2即为EF的值；
（2）作EH⊥CD于H，∠EFC的正弦值=BC：EF，代入计算即可．
本题主要考查了解直角三角形的知识；利用∠1在不同直角三角形中相同的正切值求解是解决本题的突破点．
计算题；作图题．
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