题目:
(2011·新昌县模拟)如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,将这个游戏抽象为数学问题如图②,已知铁环的半径为25cm,设铁环中心为O,铁环与地面接触点为F,铁环钩与铁环的接触点为A,铁环钩与手的接触点是B,铁环钩AB长75cm,BG表示点B距离地面的高度.

(1)当铁环钩AB与铁环相切时(如图③),切点A离地面的高度AM为5cm,求水平距离FG的长;
(2)当点A与点O同一水平高度时(如图④),铁环容易向前滚动,现将如图③铁环钩的一端从A点提升到与O点同一水平高度的C点,铁环钩的另一端点从点B上升到点D,且水平距离FG保持不变,求BD的长(精确到1cm).
答案
解:(1)如图四边形HFGI,HFMA是矩形,
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20,
∴在Rt△OHA中,
HA==15,

方法一∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,又∠OHA=∠AIB=90°,
∴△OHA∽△AIB,得
=即
=,得AI=60(2分),
FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm);
方法二:∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,∴
cos∠BAI=cos∠AOH===,
在Rt△ABI中,
AI=AB·cos∠BAI=75×=60,
∴FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm)
(2)如图,四边形OFGP是矩形,CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50,
Rt△CPD中,
DP===25≈55.90;
Rt△AIB中,
IB=AB·sin∠BAI=75×=45,
BG=BI+AM=45+5=50,DG=DP+OF=55.90+25=80.90,
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31(cm).
解:(1)如图四边形HFGI,HFMA是矩形,
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20,
∴在Rt△OHA中,
HA==15,

方法一∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,又∠OHA=∠AIB=90°,
∴△OHA∽△AIB,得
=即
=,得AI=60(2分),
FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm);
方法二:∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,∴
cos∠BAI=cos∠AOH===,
在Rt△ABI中,
AI=AB·cos∠BAI=75×=60,
∴FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm)
(2)如图,四边形OFGP是矩形,CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50,
Rt△CPD中,
DP===25≈55.90;
Rt△AIB中,
IB=AB·sin∠BAI=75×=45,
BG=BI+AM=45+5=50,DG=DP+OF=55.90+25=80.90,
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31(cm).