试题

题目:
(2011·新昌县模拟)如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,将这个游戏抽象为数学问题如图②,已知铁环的半径为25cm,设铁环中心为O,铁环与地面接触点为F,铁环钩与铁环的接触点为A,铁环钩与手的接触点是B,铁环钩AB长75cm,BG表示点B距离地面的高度.
青果学院
(1)当铁环钩AB与铁环相切时(如图③),切点A离地面的高度AM为5cm,求水平距离FG的长;
(2)当点A与点O同一水平高度时(如图④),铁环容易向前滚动,现将如图③铁环钩的一端从A点提升到与O点同一水平高度的C点,铁环钩的另一端点从点B上升到点D,且水平距离FG保持不变,求BD的长(精确到1cm).
答案
解:(1)如图四边形HFGI,HFMA是矩形,
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20,
∴在Rt△OHA中,HA=
OA2-OH2
=15

青果学院
方法一∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,又∠OHA=∠AIB=90°,
∴△OHA∽△AIB,得
OA
OH
=
AB
AI

25
20
=
75
AI
,得AI=60(2分),
FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm);
方法二:∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,∴cos∠BAI=cos∠AOH=
OH
OA
=
20
25
=
4
5

在Rt△ABI中,AI=AB·cos∠BAI=75×
4
5
=60

∴FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm)

(2)如图,四边形OFGP是矩形,CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50,
Rt△CPD中,DP=
CD2-CP2
=
752-502
=25
5
≈55.90

Rt△AIB中,IB=AB·sin∠BAI=75×
3
5
=45

BG=BI+AM=45+5=50,DG=DP+OF=55.90+25=80.90,
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31(cm).
解:(1)如图四边形HFGI,HFMA是矩形,
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20,
∴在Rt△OHA中,HA=
OA2-OH2
=15

青果学院
方法一∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,又∠OHA=∠AIB=90°,
∴△OHA∽△AIB,得
OA
OH
=
AB
AI

25
20
=
75
AI
,得AI=60(2分),
FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm);
方法二:∵AB是圆的切线,∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°,
得∠BAI=∠AOH,∴cos∠BAI=cos∠AOH=
OH
OA
=
20
25
=
4
5

在Rt△ABI中,AI=AB·cos∠BAI=75×
4
5
=60

∴FG=HI=HA+AI=15+60=75(cm)

(2)如图,四边形OFGP是矩形,CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50,
Rt△CPD中,DP=
CD2-CP2
=
752-502
=25
5
≈55.90

Rt△AIB中,IB=AB·sin∠BAI=75×
3
5
=45

BG=BI+AM=45+5=50,DG=DP+OF=55.90+25=80.90,
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31(cm).
考点梳理
切线的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
(1)由矩形的性质可求出OH,再由勾股定理得出AH,则△OHA∽△AIB,得
OA
OH
=
AB
AI
,代数数值即可求得答案;
(2)由四边形OFGP是矩形,得出CP,在Rt△CPD中,由勾股定理得出DP,在Rt△AIB中,再由三角函数的定义得出IB,从而得出BD的长.
本题考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用,是中考压轴题,难度偏大.
几何综合题.
找相似题