试题

（2011·兴国县模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD=BD=2，求⊙O的面积．

解：（1）直线BD与⊙O相切．                         （1分）
证明：如图1，连接OD．                              （2分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．                             （3分）
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A，（5分）
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切．                                （6分）

（2）连OD、DE．
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA．                                      （7分）
在Rt△BDC中，
∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，
∴3∠A=90°，即有∠A=30°．                        （8分）
由tan∠A=

DE

AD

，得DE=AD·tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

．（10分）
又∠DOE=60°，OD=OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴OD=DE=

2 3

3

．                                  （10分）
即⊙O的半径r=OD=

2 3

3

，
故⊙O的面积S=πr2=

4π

3

．                           （12分）
解：（1）直线BD与⊙O相切．                         （1分）
证明：如图1，连接OD．                              （2分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．                             （3分）
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A，（5分）
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切．                                （6分）

（2）连OD、DE．
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA．                                      （7分）
在Rt△BDC中，
∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，
∴3∠A=90°，即有∠A=30°．                        （8分）
由tan∠A=

DE

AD

，得DE=AD·tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

．（10分）
又∠DOE=60°，OD=OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴OD=DE=

2 3

3

．                                  （10分）
即⊙O的半径r=OD=

2 3

3

，
故⊙O的面积S=πr2=

4π

3

．                           （12分）