试题

题目：
青果学院（2011·徐汇区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，cosC=
5
13
，中线BE和AD交于点F．求：△ABC的面积以及sin∠EBC的值．
答案
解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．（2分）
∵Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC=13，cosC=cosB=
5
13
，
∴BD=DC=ABcosB=5（2分）
∴AD=
AB2-BD2
=
132-52
=12，
∴S△ABC=60．（2分）
∵中线BE和AD交于点F，
∴DF=
1
3
AD=4（1分）
则在Rt△BDF中，BF=
DF2+BD2
=
52+42
=
41
（1分）
∴sin∠EBC=
DF
BF
=
4
41
41
（2分）
解：∵△ABC中，AB=AC，且AD是中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．（2分）
∵Rt△ABD与Rt△ACD中，AB=AC=13，cosC=cosB=
5
13
，
∴BD=DC=ABcosB=5（2分）
∴AD=
AB2-BD2
=
132-52
=12，
∴S△ABC=60．（2分）
∵中线BE和AD交于点F，
∴DF=
1
3
AD=4（1分）
则在Rt△BDF中，BF=
DF2+BD2
=
52+42
=
41
（1分）
∴sin∠EBC=
DF
BF
=
4
41
41
（2分）
考点梳理
解直角三角形．
由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由cosC=
5
13
，求得CD、AD，则S△ABC=60，根据中线的性质求出DF，BF，在△BDF中求得sin∠EBC的值．
本题考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义，是中档题，难度不大．
计算题．
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