试题

（2010·江北区模拟）如图，点A为⊙O直径CB延长线上一点，过点A作⊙O的切线AD，切点为D，过点D作DE⊥AC，垂足为F，连接BE、CD、CE，已知∠BED=30°．
（1）求tanA的值；
（2）若AB=2，试求CE的长．
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

解：（1）连接OD，
∵DA为⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥AD，∠ADO=90°，
又∵∠BED=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．

（2）过点O作OG⊥EC于点G
∴sinA=

OD

OA

=

R

R+AB

=

R

R+2

=

1

2

，
得R=2，
∴OC=2，
∵DE⊥AC，BC为直径，
∴弧BE=弧BD，
∴∠ECB=∠BED=30°，
∴CE=2CG=2·OCcos30°=2

3

．

（3）∵由（1）∠BOD=60°得∠ODF=30°，
∴OF=

1

2

OD=

1

2

OB，即OF=FB，
由DE⊥AC，BC为直径，
得EF=FD，∠OFD=∠BFE=90°，
∴△BEF≌△ODF，
∴阴影部分面积等于扇形BOD的面积S=

60π·22

360

=

2π

3

．
解：（1）连接OD，
∵DA为⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥AD，∠ADO=90°，
又∵∠BED=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．

（2）过点O作OG⊥EC于点G
∴sinA=

OD

OA

=

R

R+AB

=

R

R+2

=

1

2

，
得R=2，
∴OC=2，
∵DE⊥AC，BC为直径，
∴弧BE=弧BD，
∴∠ECB=∠BED=30°，
∴CE=2CG=2·OCcos30°=2

3

．

（3）∵由（1）∠BOD=60°得∠ODF=30°，
∴OF=

1

2

OD=

1

2

OB，即OF=FB，
由DE⊥AC，BC为直径，
得EF=FD，∠OFD=∠BFE=90°，
∴△BEF≌△ODF，
∴阴影部分面积等于扇形BOD的面积S=

60π·22

360

=

2π

3

．