试题

（2010·南昌模拟）在矩形OABC中，OA=4，OC=2，以点O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
（1）将矩形OABC绕点C逆时针旋转至矩形DEFC，如图1，DE经过点B，求旋转角的大小和点D，F的坐标；
（2）将图1中矩形DEFC沿直线BC向左平移，如图2，平移速度是每秒1个单位长度．
①经过几秒，直线EF经过点B；
②设两矩形重叠部分的面积为S，运动时间为t，写出重叠部分面积S与时间t之间的函数关系式．

解：（1）如图1．在矩形OABC中，OA=4，OC=2，
所以在RT△BCD中，BC=2CD，即cos∠BCD=

CD

CB

=

1

2

所以∠BCD=60°．所以旋转角∠OCD=30°
作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N．
在RT△CDM中，CM=CD·cos60°=1，DM=CD·sin60°=

3

．
所以点D到x轴的距离为2-

3

．
在RT△CFN中，CN=CFcos30°=2

3

，FN=CFsin30°=2，
所以点F到x轴的距离为4．
故D（1，2-

3

），F（2

3

，4)

（2）①如图2，HB
即为直线EF经过点B时移动的距离．
在RT△C′DH中，DH=C′Dtan60°=2

3

，
所以HE=4-2

3

．
在RT△BEH中，
HE=BHcos30°，则BH=

8 3 -12

3

．
所以直线EF经过点B时所需的时间

8 3 -12

3

秒
②过点D作DM⊥BC于点M．
在RT△DMC′中，
C′M=C′Dcos60°=1，DM=

3

．
在RT△DHC′中，C′D=C′Hcos60°=2．
当0＜t＜1时，重叠部分面积为四边形DGCH，如图2，
C′C=t，CG=C′Ctan60°=

3

t．
S=S△C′DH-S△C′CG=2

3

-

3

2

t2．
当1≤t＜4时，重叠部分的面积为△GCH，如图3，
C′C=t，CH=4-t，CG=CHtan30°=

3

3

(4-t)．
所以重叠部分的面积S=

1

2

CG·CH=

1

2

×

3

3

(4-t)(4-t)=

3

6

t2-

4 3

3

t+

8 3

3

．
解：（1）如图1．在矩形OABC中，OA=4，OC=2，
所以在RT△BCD中，BC=2CD，即cos∠BCD=

CD

CB

=

1

2

所以∠BCD=60°．所以旋转角∠OCD=30°
作DM⊥CB于点M，FN⊥CB于点N．
在RT△CDM中，CM=CD·cos60°=1，DM=CD·sin60°=

3

．
所以点D到x轴的距离为2-

3

．
在RT△CFN中，CN=CFcos30°=2

3

，FN=CFsin30°=2，
所以点F到x轴的距离为4．
故D（1，2-

3

），F（2

3

，4)

（2）①如图2，HB
即为直线EF经过点B时移动的距离．
在RT△C′DH中，DH=C′Dtan60°=2

3

，
所以HE=4-2

3

．
在RT△BEH中，
HE=BHcos30°，则BH=

8 3 -12

3

．
所以直线EF经过点B时所需的时间

8 3 -12

3

秒
②过点D作DM⊥BC于点M．
在RT△DMC′中，
C′M=C′Dcos60°=1，DM=

3

．
在RT△DHC′中，C′D=C′Hcos60°=2．
当0＜t＜1时，重叠部分面积为四边形DGCH，如图2，
C′C=t，CG=C′Ctan60°=

3

t．
S=S△C′DH-S△C′CG=2

3

-

3

2

t2．
当1≤t＜4时，重叠部分的面积为△GCH，如图3，
C′C=t，CH=4-t，CG=CHtan30°=

3

3

(4-t)．
所以重叠部分的面积S=

1

2

CG·CH=

1

2

×

3

3

(4-t)(4-t)=

3

6

t2-

4 3

3

t+

8 3

3

．