试题

（2010·硚口区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，E是AC的延长线上一点，连接BE，∠BEC+2∠CBE=90°．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CBE=

1

2

，求sin∠E的值．

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠CBE，
∴∠ABC=∠E+∠CBE，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=2∠CBE+∠BEC=90°，
∵AB为⊙O直径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：设AE于圆交于点M，连接BM，过点C作CF⊥BE于F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MBE+∠BEC=90°，
∵∠BEC+2∠CBE=90°，
∴∠MBE=2∠CBE，
∴∠MBC=∠FBC，
∴△MBC≌△FBC，
∵tan∠CBE=

1

2

，
∴设CF=1，则BF=2，
∴BM=BF=2，CM=CF=1，
再设AM=x，
在Rt△AMB中，
AM=x，AB=AC=1+x，BM=2，
∴x²+2²=（x+1）²，
解得：x=

3

2

，
∴AB=

5

2

，
∵∠A+∠MBA=90°，∠A+∠E=90°，
∴∠E=∠MBA，
∴sin∠E=sin∠MBA=

AM

AB

=

3 2

5 2

=

3

5

．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠CBE，
∴∠ABC=∠E+∠CBE，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=2∠CBE+∠BEC=90°，
∵AB为⊙O直径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：设AE于圆交于点M，连接BM，过点C作CF⊥BE于F，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠MBE+∠BEC=90°，
∵∠BEC+2∠CBE=90°，
∴∠MBE=2∠CBE，
∴∠MBC=∠FBC，
∴△MBC≌△FBC，
∵tan∠CBE=

1

2

，
∴设CF=1，则BF=2，
∴BM=BF=2，CM=CF=1，
再设AM=x，
在Rt△AMB中，
AM=x，AB=AC=1+x，BM=2，
∴x²+2²=（x+1）²，
解得：x=

3

2

，
∴AB=

5

2

，
∵∠A+∠MBA=90°，∠A+∠E=90°，
∴∠E=∠MBA，
∴sin∠E=sin∠MBA=

AM

AB

=

3 2

5 2

=

3

5

．