试题

（2013·广安）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙0的半径为5，sin∠ADE=

4

5

，求BF的长．

（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；

（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=

AD

AB

=

4

5

，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=

AE

AD

=

4

5

，
∴AE=

32

5

，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，即

5

32 5

=

BF+5

BF+10

，
∴BF=

90

7

．
（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线；

（2）解：∵∠DAC=∠DAB，
∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=

AD

AB

=

4

5

，而AB=10，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=

AE

AD

=

4

5

，
∴AE=

32

5

，
∵OD∥AE，
∴△FDO∽△FEA，
∴

OD

AE

=

FO

FA

，即

5

32 5

=

BF+5

BF+10

，
∴BF=

90

7

．