试题

题目：
青果学院（2013·眉山）在矩形ABCD中，DC=2
3
，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．
答案
解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=
1
3
；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴
CE
CD
=
CD
FC
，即可得：6x2=12，
解得：x=
2
，
则CF=3
2
，
在Rt△CFD中，DF=
FC2-CD2
=
6
，
∴BC=2DF=2
6
．
解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=
1
3
；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴
CE
CD
=
CD
FC
，即可得：6x2=12，
解得：x=
2
，
则CF=3
2
，
在Rt△CFD中，DF=
FC2-CD2
=
6
，
∴BC=2DF=2
6
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定；
（2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性质：对应边成比例．
压轴题．
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