试题

题目：
青果学院（2013·扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=
4
5
，求DE的长．
答案
青果学院（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠3=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠3=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cos∠ADB=
AD
BD
，∴BD=
AD
cos∠ADB
=
AD
cos∠ABF
=
4
4
5
=5，
∴AB=3．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵cos∠ABE=
AB
BE
，∴BE=
AB
cos∠ABE
=
3
4
5
=
15
4
，
∴AE=
(
15
4
)2-32
=
9
4
，
∴DE=AD-AE=4-
9
4
=
7
4
．
青果学院（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠3=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠3=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cos∠ADB=
AD
BD
，∴BD=
AD
cos∠ADB
=
AD
cos∠ABF
=
4
4
5
=5，
∴AB=3．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵cos∠ABE=
AB
BE
，∴BE=
AB
cos∠ABE
=
3
4
5
=
15
4
，
∴AE=
(
15
4
)2-32
=
9
4
，
∴DE=AD-AE=4-
9
4
=
7
4
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．
（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC；
（2）首先连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD-AE求得结果．
此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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