试题

（2013·义乌市）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．
（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；
（2）证明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA=

5

13

，求EF的长．

解：（1）连接OD，
∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，
∴OB=

1

2

OA=4，BC=BD=

1

2

CD，
∴在Rt△OBD中，BD=

OD2-OB2

=4

3

，
∴CD=2BD=8

3

；

（2）∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（3）过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠PGF=∠ABF=90°，
∵∠PFG=∠AFB，
∴∠FPG=∠A，
∴FG=PF·sinA=13×

5

13

=5，
∵PE=PF，
∴EF=2FG=10．
解：（1）连接OD，
∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，
∴OB=

1

2

OA=4，BC=BD=

1

2

CD，
∴在Rt△OBD中，BD=

OD2-OB2

=4

3

，
∴CD=2BD=8

3

；

（2）∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；

（3）过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠PGF=∠ABF=90°，
∵∠PFG=∠AFB，
∴∠FPG=∠A，
∴FG=PF·sinA=13×

5

13

=5，
∵PE=PF，
∴EF=2FG=10．