试题

（2009·河东区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C₁，连接BB₁．设CB₁交AB于点D，A₁B₁分别交AB、AC于点E、F．
（1）在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出图中的所有全等三角形，并对不包括△ABC和△A₁B₁C₁的一对全等三角形加以证明；
（2）当α=60°时，求BD的长；
（3）当△BB₁D是等腰三角形时，求角α的度数．

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以证△CBD≌△CA₁F为例：
证明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，∴DG=xtan60°=

3

x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD=

3

x
∵AC=BC=1，∴x+

3

x=1
x=

1

1+ 3

=

1

2

(

3

-1)，∴DB=

2

BG=

3 2 - 6

2

．

（3）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB1=∠CB1B=

1

2

（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=

1

2

（180°-α），
解得α=30°，
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°．
解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以证△CBD≌△CA₁F为例：
证明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，∴DG=xtan60°=

3

x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD=

3

x
∵AC=BC=1，∴x+

3

x=1
x=

1

1+ 3

=

1

2

(

3

-1)，∴DB=

2

BG=

3 2 - 6

2

．

（3）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB1=∠CB1B=

1

2

（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=

1

2

（180°-α），
解得α=30°，
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°．