试题

题目：
青果学院（2009·静安区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=
4
5
，点D在边BC上，tan∠CAD=
1
2
．
（1）求BD长；
（2）设
CA
=
a
，
CB
=
b
，用
a
、
b
的线性组合表示
AD
．
答案
解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=10，cosB=
4
5
，
∴BC=AB·cosB=10×
4
5
=8．（2分）
AC=
AB2-BC2
=
102-82
=6．（1分）
在Rt△ACD中，CD=AC·tan∠CAD=6×
1
2
=3．（2分）
BD=BC-CD=8-3=5；（1分）

（2）∵CD=3，CB=8，
∴CD=
3
8
BC，
∴
CD
=
3
8
CB
=
3
8
b
．（2分）
∴
AD
=
CD
-
CA
=
3
8
b
-
a
．（2分）
解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=10，cosB=
4
5
，
∴BC=AB·cosB=10×
4
5
=8．（2分）
AC=
AB2-BC2
=
102-82
=6．（1分）
在Rt△ACD中，CD=AC·tan∠CAD=6×
1
2
=3．（2分）
BD=BC-CD=8-3=5；（1分）

（2）∵CD=3，CB=8，
∴CD=
3
8
BC，
∴
CD
=
3
8
CB
=
3
8
b
．（2分）
∴
AD
=
CD
-
CA
=
3
8
b
-
a
．（2分）
考点梳理
*平面向量；解直角三角形．
（1）由于△ABC是直角三角形，所以直接根据锐角三角函数的定义即可求出BC的值，再由勾股定理求出AC的长度，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义可求出CD的长，进而可求出BD的长；
（2）由CD，CB的长度可知，CD=
3
8
BC，再用
a
、
b
的线性组合表示出
AD
即可．
本题考查的是解直角三角形及平面向量的基础知识，比较简单．
探究型．
找相似题