试题

题目：
（2009·静安区三模）已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、青果学院⊙C的半径均为1．求：
（1）⊙A的半径；
（2）tan∠ADB的值？
答案
解：（1）设⊙A的半径为R，（1分）
∵⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1，
∴AB=R-1，AC=R+1．（2分）
∵∠A=90°，BC=4，∴AB2+AC2=BC2，（1分）
∴（R-1）2+（R+1）2=16，（1分）
解得R=±
7
（负值舍去）．
∴⊙A的半径为
7
．（2分）

（2）∵⊙A与⊙C外切于点D，∴点D在AC上．（1分）
在Rt△ADB中，∵AD=
7
，AB=
7
-1，
∴tan∠ADB=
AB
AD
=
7
-1
7
=
7-
7
7
．（2分）
解：（1）设⊙A的半径为R，（1分）
∵⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1，
∴AB=R-1，AC=R+1．（2分）
∵∠A=90°，BC=4，∴AB2+AC2=BC2，（1分）
∴（R-1）2+（R+1）2=16，（1分）
解得R=±
7
（负值舍去）．
∴⊙A的半径为
7
．（2分）

（2）∵⊙A与⊙C外切于点D，∴点D在AC上．（1分）
在Rt△ADB中，∵AD=
7
，AB=
7
-1，
∴tan∠ADB=
AB
AD
=
7
-1
7
=
7-
7
7
．（2分）
考点梳理
相切两圆的性质；勾股定理；解直角三角形．
（1）设⊙A的半径为R．根据已知条件“⊙A与⊙B内切，⊙A与⊙C外切于点D，⊙B、⊙C的半径均为1”易知AB=R-1，AC=R+1；然后在直角三角形ABC中根据勾股定理列出关于R的方程，由R的取值范围解方程即可；
（2）在Rt△ADB中，根据已知条件“⊙A与⊙C外切于点D”求得AD=
7
、AB=
7
-1；然后由锐角三角函数的定义来求tan∠ADB的值．
本题综合考查了相切两圆的性质、勾股定理以及解直角三角形．解答本题的关键是根据圆外切、内切的性质求得相应线段的长度，再在直角三角形中利用勾股定理解答相关线段的长度．
代数几何综合题．
找相似题