试题

（2009·莆田二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D点作DE⊥AC于E．
（1）试判断DE是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若tanB=

3

3

，DE=4

3

，求⊙O的直径．

解：（1）DE是⊙O的切线．
理由如下：
如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，
∵∠B=∠C，tanB=

3

3

，
∴tanC=

3

3

，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=

DE

CD

，
∴CD=2DE=8

3

，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=

CD

AC

，
∴

3

2

=

8 3

AC

，
∴AC=16．
∴直径AB=16．
解：（1）DE是⊙O的切线．
理由如下：
如图，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AD，
∵∠B=∠C，tanB=

3

3

，
∴tanC=

3

3

，
∴∠C=30°．
在Rt△DEC中
∵sinC=sin30°=

DE

CD

，
∴CD=2DE=8

3

，
在Rt△ADC中
∵cosC=cos30°=

CD

AC

，
∴

3

2

=

8 3

AC

，
∴AC=16．
∴直径AB=16．