试题

题目：
青果学院（2010·房山区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠B=30°，E是BC上一点，且∠CED=60°，若AD=1，BE=4，求AB的长．
答案
青果学院解：过点D作DF∥AB交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形
∴BF=AD=1，AB=DF
∴FE=BE-BF=4-1=3，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=∠B=30°，
在Rt△DFC中，DC=FC·tan30°=
3
3
FC，
在Rt△DEC中，DC=EC·tan60°=
3
EC，
∴
3
3
FC=
3
EC，
∴
3
3
(3+EC)=
3
EC，
∴EC=
3
2
，
∴AB=DF=
FC
cos30°
=
3+
3
2
3
2
=3
3
．
青果学院解：过点D作DF∥AB交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形
∴BF=AD=1，AB=DF
∴FE=BE-BF=4-1=3，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=∠B=30°，
在Rt△DFC中，DC=FC·tan30°=
3
3
FC，
在Rt△DEC中，DC=EC·tan60°=
3
EC，
∴
3
3
FC=
3
EC，
∴
3
3
(3+EC)=
3
EC，
∴EC=
3
2
，
∴AB=DF=
FC
cos30°
=
3+
3
2
3
2
=3
3
．
考点梳理
梯形；解直角三角形．
过点D作DF∥AB交BC于点F，根据梯形的性质可以得到四边形ABFD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到BF=AD=1，AB=DF，接着利用已知条件得到EF，而由DF∥AB可以推出∠DFC=∠B=30°，再在Rt△DFC中和在Rt△DEC中利用三角函数可以建立关于CE的方程，解方程求出CE，接着利用三角函数的定义就可以求出AB．
此题主要考查了梯形的常用辅助线：平移梯形的腰，把梯形的问题转换成平行四边形和直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识解决问题．
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