试题

题目：
青果学院（2010·奉贤区二模）如图，△ABC中，∠C=90°，点E是AB的中点，过点E作DE⊥AB交BC于点D，
连接AD，若AC=8，sin∠CAD=
3
5
．
（1）求：CD的长；
（2）求：DE的长．
答案
解：（1）在Rt△ACD中，∠C=90°，
∴sin∠CAD=
CD
AD
=
3
5
，
设CD=3k，AD=5k，
∴AC=
AD2- CD2
=4k=8，
∴k=2，
∴CD=3k=6；

（2）∵点E是AB的中点，DE⊥AB于E，
∴BD=AD=5k=10，
∴BC=BD+CD=16，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴AB=
AC2+BC2
=
82+162
=8
5
，
（解一）∴BE=
1
2
AB=4
5
．
（解二）∵∠B=∠B，∠DEB=∠C=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴△DEB∽△ACB，
∴
DE
AC
=
BD
AB
，
∴
DE
8
=
10
8
5
，
∴DE=2
5
．
解：（1）在Rt△ACD中，∠C=90°，
∴sin∠CAD=
CD
AD
=
3
5
，
设CD=3k，AD=5k，
∴AC=
AD2- CD2
=4k=8，
∴k=2，
∴CD=3k=6；

（2）∵点E是AB的中点，DE⊥AB于E，
∴BD=AD=5k=10，
∴BC=BD+CD=16，
在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴AB=
AC2+BC2
=
82+162
=8
5
，
（解一）∴BE=
1
2
AB=4
5
．
（解二）∵∠B=∠B，∠DEB=∠C=90°，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴△DEB∽△ACB，
∴
DE
AC
=
BD
AB
，
∴
DE
8
=
10
8
5
，
∴DE=2
5
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
（1）由在Rt△ACD中，AC=8，sin∠CAD=
3
5
，利用方程思想与勾股定理即可求得CD的长；
（2）根据垂直平分线的性质，即可求得BD的值，则可得BC与AB的值，在Rt△BDE中，利用勾股定理求解即可．
此题考查了直角三角形的性质与勾股定理等知识．解题的关键是数形结合与方程思想的应用．
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