试题

（2010·花都区一模）如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC切⊙O于点C，∠P=30°，连接AC，BC．
（1）求证：2PB=AB．
（2）若AC=4

3

cm，求⊙O的半径r．

（1）证明：连接OC，（2分）
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，（3分）
又∠P=30°，∴OA=OB=OC=

1

2

OP，（5分）
∴2PB=2OB=AB．（6分）

（2）解：在Rt△POC中，由（1）可知∠POC=60°，又OB=OC，（7分）
∴△OBC是正三角形，∴∠ABC=60°；（8分）
∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形；（9分）
∴sin60°=

AC

AB

，（10分）
即

3

2

=

4 3

AB

，解得AB=8；（11分）
∴⊙O的半径r=

1

2

AB=4cm．（12分）
（1）证明：连接OC，（2分）
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC，（3分）
又∠P=30°，∴OA=OB=OC=

1

2

OP，（5分）
∴2PB=2OB=AB．（6分）

（2）解：在Rt△POC中，由（1）可知∠POC=60°，又OB=OC，（7分）
∴△OBC是正三角形，∴∠ABC=60°；（8分）
∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形；（9分）
∴sin60°=

AC

AB

，（10分）
即

3

2

=

4 3

AB

，解得AB=8；（11分）
∴⊙O的半径r=

1

2

AB=4cm．（12分）