试题

（2008·青浦区二模）如图，已知⊙O的半径OA=

5

，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E．
（1）求cosA的值；
（2）设AC=x，OE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点C在AB上运动时，⊙C是否可能与⊙O相切？如果可能，请求出当⊙C与⊙O相切时的AC的长；如果不可能，请说明理由．

解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=

1

2

AB=2，（1分）
∴cosA=

AD

OA

=

2

5

=

2 5

5

．（1分）

（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，
∵OE是⊙C的弦，OF=

1

2

OE=

y

2

，
在Rt△ACF中，AF=AC·cosA=

2 5

5

x，（1分）
∵AF+OF=OA，∴

2 5

5

x+

y

2

=

5

．（1分）
∴函数解析式为y=2

5

-

4 5

5

x．（1分）
函数定义域为

5

4

≤x＜

5

2

．（1分）

（3）⊙C可能与⊙O相切．
在Rt△AOD中，OD=

AO2-AD2

=

5-4

=1．
当⊙C与⊙O相切时，OC=

1

2

OA=

5

2

，（1分）
∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，
∴1²+（2-x）²=

5

4

．（1分）
∴x₁=

3

2

，x2=

5

2

．（1分）
当x=

5

2

时，⊙C与OA相切于点O，不符合题意．
∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为

3

2

．（1分）
解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∵AB是⊙O的弦，∴AD=

1

2

AB=2，（1分）
∴cosA=

AD

OA

=

2

5

=

2 5

5

．（1分）

（2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，
∵OE是⊙C的弦，OF=

1

2

OE=

y

2

，
在Rt△ACF中，AF=AC·cosA=

2 5

5

x，（1分）
∵AF+OF=OA，∴

2 5

5

x+

y

2

=

5

．（1分）
∴函数解析式为y=2

5

-

4 5

5

x．（1分）
函数定义域为

5

4

≤x＜

5

2

．（1分）

（3）⊙C可能与⊙O相切．
在Rt△AOD中，OD=

AO2-AD2

=

5-4

=1．
当⊙C与⊙O相切时，OC=

1

2

OA=

5

2

，（1分）
∵CD=|AD-AC|=|2-x|，OD²+CD²=OC²，
∴1²+（2-x）²=

5

4

．（1分）
∴x₁=

3

2

，x2=

5

2

．（1分）
当x=

5

2

时，⊙C与OA相切于点O，不符合题意．
∴当⊙C与⊙O相切时的AC的长为

3

2

．（1分）