试题

（2008·天河区二模）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4

3

，D是BC与⊙O的交点．
（1）点D是线段BC的中点吗？请说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰三角形．

解：（1）答：点D是线段BC的中点．
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=4，∠ABC=30°，
∴BD=AB·cos30°=4×

3

2

=2

3

．
又∵BC=4

3

，
∴BD=

1

2

BC．
即D是线段BC的中点．

（2）解法一：证明：∵BD=CD，AD=AD，∠ADB=ADC=90°．
∴△ABD≌△ADC．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
解法二：∵AD⊥BC，BD=CD．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
解：（1）答：点D是线段BC的中点．
连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=4，∠ABC=30°，
∴BD=AB·cos30°=4×

3

2

=2

3

．
又∵BC=4

3

，
∴BD=

1

2

BC．
即D是线段BC的中点．

（2）解法一：证明：∵BD=CD，AD=AD，∠ADB=ADC=90°．
∴△ABD≌△ADC．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
解法二：∵AD⊥BC，BD=CD．
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．