试题

（2008·玄武区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，并且DF交AC于点N，交BC于点Q，EF交AC于点M，则PQ的长为多少cm？
（2）在（1）的条件下，求旋转后△DEF与△ABC重叠部分的面积S；
（3）以斜边BC上距离C点xcm的点P为中心（P不是B、C），把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，设△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

解：（1）∵以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，
∴PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，
∴

PF

AC

=

PQ

AB

，
∴

2

4

=

PQ

3

，
∴PQ=1.5；

（2）∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=5，PC=2，S_△ABC=6，
∵S_△PMC：S_△ABC=1：4，即S_△PMC=

3

2

，
∴PM=PQ=

3

2

，
∴QC=

7

2

，
∴S_△NQC：S_△ABC=QC²：BC²=（

7

2

）²：5²，
∴S_△NQC=

147

50

，
∴S_{四边形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC=1.44cm²．

（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，
见图所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上这三段．其中的P₁、P₂是两个特殊的位置：P₁的位置是FD与AB有部分重合；P₂的位置是FE过A点．下面先求出CP₁的长．
对于图2中的P₁位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=

5

4

x，
MN=

3

20

x，∴NC=NM+MC=

3

20

x+

5

4

x=

7

5

x，
从而AN=AC-NC=4-

7

5

x，
由AN=0，解得x=

20

7

；（10分）
对于图2中点P₂的位置，容易求得P₂C=

16

5

．（11分）
①当P在CP₁间，即0＜x≤

20

7

时，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=

1

2

PC·MP-

1

2

FN·NM
=

1

2

x·

3

4

x-

1

2

×

1

5

x·

3

20

x=

9

25

x²，（12分）
②当P在P₁P₂间，即

20

7

＜x≤

16

5

时，y=S_△ABC-S_△CPM=6-

1

2

·x·

3

4

x=6-

3

8

x²；（13分）
③当P在P₂B间，即

16

5

＜x＜5时，y=S_△MPB=

1

2

·（5-x）·

4

3

（5-x）=

2

3

（5-x）²．（14分）
故：当0＜x≤

20

7

时，y=

9

25

x²；
当

20

7

＜x≤

16

3

时，y=6-

3

8

x²；
当

16

3

＜x＜5时，y=

2

3

（5-x）²．

解：（1）∵以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，
∴PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，
∴

PF

AC

=

PQ

AB

，
∴

2

4

=

PQ

3

，
∴PQ=1.5；

（2）∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=5，PC=2，S_△ABC=6，
∵S_△PMC：S_△ABC=1：4，即S_△PMC=

3

2

，
∴PM=PQ=

3

2

，
∴QC=

7

2

，
∴S_△NQC：S_△ABC=QC²：BC²=（

7

2

）²：5²，
∴S_△NQC=

147

50

，
∴S_{四边形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC=1.44cm²．

（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，
见图所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上这三段．其中的P₁、P₂是两个特殊的位置：P₁的位置是FD与AB有部分重合；P₂的位置是FE过A点．下面先求出CP₁的长．
对于图2中的P₁位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=

5

4

x，
MN=

3

20

x，∴NC=NM+MC=

3

20

x+

5

4

x=

7

5

x，
从而AN=AC-NC=4-

7

5

x，
由AN=0，解得x=

20

7

；（10分）
对于图2中点P₂的位置，容易求得P₂C=

16

5

．（11分）
①当P在CP₁间，即0＜x≤

20

7

时，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=

1

2

PC·MP-

1

2

FN·NM
=

1

2

x·

3

4

x-

1

2

×

1

5

x·

3

20

x=

9

25

x²，（12分）
②当P在P₁P₂间，即

20

7

＜x≤

16

5

时，y=S_△ABC-S_△CPM=6-

1

2

·x·

3

4

x=6-

3

8

x²；（13分）
③当P在P₂B间，即

16

5

＜x＜5时，y=S_△MPB=

1

2

·（5-x）·

4

3

（5-x）=

2

3

（5-x）²．（14分）
故：当0＜x≤

20

7

时，y=

9

25

x²；
当

20

7

＜x≤

16

3

时，y=6-

3

8

x²；
当

16

3

＜x＜5时，y=

2

3

（5-x）²．