试题

题目：
青果学院（2009·宝山区二模）如图，已知⊙O1、⊙O2交于点A、B，O1A、O1B的延长线分别与⊙O2交于点C、D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若⊙O1的半径为5，O1O2=10，sin∠AO1O2=
3
5
，求CD的长．
答案
青果学院解：（1）证明：连接AB，过点O2作O2E⊥AC、O2F⊥BD，垂足分别为点E、F，
∵O1O2是连心线，AB是公共弦，
∴O1O2垂直平分AB．
又O1A=O1B，
∴O1O2平分∠AO1B．
∴O2E=O2F．
∴AC=BD．

（2）连接CD，
∵O1O2=10，sin∠AO1O2=
3
5
，
∴O2E=6，O1E=8．
又∵⊙O1的半径为5，
∴AE=3，从而AC=6．
又可得AB=6．
∵O1A=O1B，AC=BD，
∴AB∥CD．
∴△ABO1∽△CDO1，
∴
AB
CD
=
O1A
O1C
，
∴
6
CD
=
5
11
，
∴CD=
66
5
．
青果学院解：（1）证明：连接AB，过点O2作O2E⊥AC、O2F⊥BD，垂足分别为点E、F，
∵O1O2是连心线，AB是公共弦，
∴O1O2垂直平分AB．
又O1A=O1B，
∴O1O2平分∠AO1B．
∴O2E=O2F．
∴AC=BD．

（2）连接CD，
∵O1O2=10，sin∠AO1O2=
3
5
，
∴O2E=6，O1E=8．
又∵⊙O1的半径为5，
∴AE=3，从而AC=6．
又可得AB=6．
∵O1A=O1B，AC=BD，
∴AB∥CD．
∴△ABO1∽△CDO1，
∴
AB
CD
=
O1A
O1C
，
∴
6
CD
=
5
11
，
∴CD=
66
5
．
考点梳理
解直角三角形；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接AB，过点O2作O2E⊥AC、O2F⊥BD，垂足分别为点E、F，要证明AC=BD，只需证明它们的弦心距相等，结合已知条件，只需根据相交两圆的性质，可以得到相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，再根据角平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可证明；
（2）设AB与连心线的交点是F，在直角三角形AO1F中和直角三角形O1O2E中，根据锐角三角函数sin∠AO1O2=
3
5
，和⊙O1的半径为5，O1O2=10可以求得AF，O2E，O1E的长，进一步求得AB的长和AC的长，根据O1A=O1B，AC=BD，得到AB∥CD，再进一步写出要求的线段和已知的线段之间的比例式进行求解．
连接相交两圆的公共弦是相交两圆中常见的辅助线之一．能够综合运用相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质、两条弦的弦心距相等，则两条弦相等的性质；能够熟练运用锐角三角函数进行计算．
综合题．
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