试题

（2009·宝山区一模）如图，已知正方形ABCD和EFCG，点E、F、G分别在线段AC、BC、CD上，正方形ABCD的边长为6．
（1）如果正方形EFCG的边长为4，求证：△ABE∽△CAG；
（2）正方形EFCG的边长为多少时，tan∠ABE×cot∠CAG=3．

（1）证明：∵正方形ABCD边长为6，正方形EFCG边长为4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=6

2

，CG=4，EC=4

2

．（2分）
∴AE=AC-EC=2

2

．
∴

AB

AE

=

AC

CG

．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，

AB

AE

=

AC

CG

，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：设正方形EFCG的边长为x，则BF=6-x，
连接FG交AC于点H，
可得GH⊥AC，GH=

2

2

x，AH=6

2

-

2

2

x，
tan∠CAG=

GH

AH

=

2 2 x

6 2 - 2 2 x

=

x

12-x

，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE=

BF

EF

=

6-x

x

．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴

6-x

x

=

3x

12-x

，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴当正方形EFCG的边长为3时，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）
（1）证明：∵正方形ABCD边长为6，正方形EFCG边长为4，
∴∠BAC=∠ACG，AB=6，AC=6

2

，CG=4，EC=4

2

．（2分）
∴AE=AC-EC=2

2

．
∴

AB

AE

=

AC

CG

．（2分）
在△ABE和△CAG中
∠BAC=∠ACG，

AB

AE

=

AC

CG

，
∴△ABE∽△CAG．（1分）

（2）解：设正方形EFCG的边长为x，则BF=6-x，
连接FG交AC于点H，
可得GH⊥AC，GH=

2

2

x，AH=6

2

-

2

2

x，
tan∠CAG=

GH

AH

=

2 2 x

6 2 - 2 2 x

=

x

12-x

，（2分）
∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，
∴tan∠ABE=

BF

EF

=

6-x

x

．（1分）
∵tan∠ABE=3tan∠CAG，
∴

6-x

x

=

3x

12-x

，（1分）
∴x₁=-12（舍去），x₂=3，
∴当正方形EFCG的边长为3时，tan∠ABE=3tan∠CAG．（1分）