试题

题目：
青果学院如图，点P在x轴上，且OP=
3
，∠AOP=30°，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON=
2或3-
3
或3+
3
2或3-
3
或3+
3
（如结果中有根号，请保留根号）．
答案
2或3-
3
或3+
3

解：设ON=2x，
①如图1，当PN是正方形的边长时，
青果学院
∵∠AOP=30°，
∴OP=2x·cos30°=2x×
3
2
=
3
x，
又∵OP=
3
，
∴x=1，
∴ON=2x=2；

②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时
青果学院
∵∠AOP=30°，
∴OM=2x·cos30°=2x×
3
2
=
3
x，
MP=MN=ON·sin30°=2x×
1
2
=x，
又∵OP=
3
，
∴
3
x+x=
3
，
解得x=
3-
3
2
，
∴ON=2x=3-
3
；

③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN=135°时，
青果学院
∵∠AOP=30°，
∴OM=2x·cos30°=2x×
3
2
=
3
x
MP=MN=ON·sin30°=2x×
1
2
=x，
又∵OP=
3
，
∴
3
x-x=
3
，
解得x=
3+
3
2
，
∴ON=2x=3+
3
．
综上所述，ON的值为：2或3-
3
或3+
3
．
故答案为：2或3-
3
或3+
3
．
考点梳理
解直角三角形；坐标与图形性质．
根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设出ON的长度是2x，然后表示出正方形的边长与OP的长度，再根据OP的长度列式求解．
本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，利用了正方形的性质，30°角的正弦与余弦，难度不是很大，但要注意分情况讨论，容易漏解而导致出错．
分类讨论．
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