试题

题目：
青果学院已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，
BC
=
BD
，BF⊥AB与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）连接BC，若AD=6，tanC=
7
3
，求⊙O的半径及弦CD的长．
答案
解：青果学院（1）证明：∵直径AB平分
CD
，
∴AB⊥CD，
∵BF⊥AB，
∴CD∥BF，

（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，tanA=
BD
AD
，
在⊙O中，∵∠A=∠C，
∴
BD
AD
=tanA=tanC=
7
3
，
∵AD=6，
∴BD=
7
3
AD=
7
3
×6=2
7
，
在Rt△ADB中，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为 
1
2
AB=4，
在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，
∴AB·DE=AD·BD，
∴DE=
6×2
7
8
=
3
2
7
，
∵直径AB平分
CD
，
∴CD=2DE=3
7
．
解：青果学院（1）证明：∵直径AB平分
CD
，
∴AB⊥CD，
∵BF⊥AB，
∴CD∥BF，

（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，tanA=
BD
AD
，
在⊙O中，∵∠A=∠C，
∴
BD
AD
=tanA=tanC=
7
3
，
∵AD=6，
∴BD=
7
3
AD=
7
3
×6=2
7
，
在Rt△ADB中，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为 
1
2
AB=4，
在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，
∴AB·DE=AD·BD，
∴DE=
6×2
7
8
=
3
2
7
，
∵直径AB平分
CD
，
∴CD=2DE=3
7
．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形．
（1）由垂径定理即可推出AB⊥CD，再由题意即可推出CD∥BF；
（2）由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，再由∠A=∠C，推出
BD
AD
=tanA=tanC=
7
3
，根据AD=6，即可求出BD的长度，根据AB=8，推出圆的半径，即可求出DE的长度，然后由直径AB平分
CD
，即可推出CD=2DE=3
7
．
本题主要考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点，关键在于熟练的综合运用各性质定理，认真的进行计算，采用数形结合的思想进行正确的分析．
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