试题

题目：
青果学院（2005·南汇区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AC上一动点，且点P不与A、C重合，过点P作PD⊥AB，垂足为D，若AB=10，tgA=
3
4
，AD的长为x，四边形BDPC的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并确定x的取值范围．
答案
解：∵
PD
x
=tgA=
3
4
，∴PD=
3
4
x．
∴S△APD=
1
2
x·PD=
1
2
x·
3
4
x=
3
8
x2．（3分）
设 BC=3s，则AC=4s，青果学院
依勾股定理有（3s）2+（4s）2=102，
解之得s=2（负值舍去）
故有  BC=6，AC=8．（2分）
S△ABC=
1
2
×6×8=24．（2分）
所以y=24-
3
8
x2．（2分）
作 CD′⊥AB于D′，
∵
AD′
AC
=
AC
AB
，
∴AD′=
8
10
×8=
32
5
．
又∵P与C不重合，
所以0＜x＜
32
5
．（1分）
解：∵
PD
x
=tgA=
3
4
，∴PD=
3
4
x．
∴S△APD=
1
2
x·PD=
1
2
x·
3
4
x=
3
8
x2．（3分）
设 BC=3s，则AC=4s，青果学院
依勾股定理有（3s）2+（4s）2=102，
解之得s=2（负值舍去）
故有  BC=6，AC=8．（2分）
S△ABC=
1
2
×6×8=24．（2分）
所以y=24-
3
8
x2．（2分）
作 CD′⊥AB于D′，
∵
AD′
AC
=
AC
AB
，
∴AD′=
8
10
×8=
32
5
．
又∵P与C不重合，
所以0＜x＜
32
5
．（1分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
先根据正切的定义得出PD=
3
4
x，再求出△APD的面积，根据勾股定理可得出AC，BC的长，从而求出△ABC的面积，再减去△APD的面积即可．作 CD′⊥AB于D′，根据相似比，求出AD的最大值，即可得出0＜x＜
32
5
．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
计算题．
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