试题

题目：
（2007·长宁区一模）如图，在直角坐标系中有一个半径为r的圆A，圆心A在x轴的正半轴上，从坐标青果学院原点O向圆A作切线，切点是B．
（1）如果OB=3
3
，OA与半径r的差是3，求圆A的半径r，点A的坐标及∠AOB的正弦值；
（2）设∠AOB=α，在图中确定一个与2α大小相等的角（可以添加辅助线），并说明理由；
（3）在（2）的基础上，试探究sin2α与2sinα是否相等．如果相等，请说明理由；如果不相等，请你找出它们之间正确的关系式．
答案
青果学院解：（1）AB=r，OB=3
3
，OA=r+3，
∵OB与圆A相切，
∴AB⊥BO，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，OA2=AB2+OB2，
∴(r+3)2=r2+(3
3
)2，
∴r=3，
∴A（6，0），
∴sin∠AOB=
AB
OA
=
1
2
，

（2）如图，取OA的中点D，过点D作OA的垂线，交OB于点C，连接AC，
∵DC是OA的垂直平分线，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO=α，
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α．

（3）由（1）可知∠B=90°，
∴在Rt△ABO中sinα=
AB
OA
，cosα=
OB
OA
，
由（2）可知DC⊥OA，
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中sin2α=
AB
AC
，
在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠O=∠O，∠CDO=∠B，
∴△ABO∽△CDO，
∴
OD
OB
=
OC
OA
，
∴OC=
OD·OA
OB
，
∵OD=
1
2
OA，且OC=AC，
∴AC=
1
2
OA·OA
OB
=
OA2
2OB
，
∴sin2α=
AB
AC
=
AB
OA2
2OB
=
2OB·AB
OA2
=2·
OB
OA
·
AB
OA
=2cosα·sinα．
青果学院解：（1）AB=r，OB=3
3
，OA=r+3，
∵OB与圆A相切，
∴AB⊥BO，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，OA2=AB2+OB2，
∴(r+3)2=r2+(3
3
)2，
∴r=3，
∴A（6，0），
∴sin∠AOB=
AB
OA
=
1
2
，

（2）如图，取OA的中点D，过点D作OA的垂线，交OB于点C，连接AC，
∵DC是OA的垂直平分线，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO=α，
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α．

（3）由（1）可知∠B=90°，
∴在Rt△ABO中sinα=
AB
OA
，cosα=
OB
OA
，
由（2）可知DC⊥OA，
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中sin2α=
AB
AC
，
在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠O=∠O，∠CDO=∠B，
∴△ABO∽△CDO，
∴
OD
OB
=
OC
OA
，
∴OC=
OD·OA
OB
，
∵OD=
1
2
OA，且OC=AC，
∴AC=
1
2
OA·OA
OB
=
OA2
2OB
，
∴sin2α=
AB
AC
=
AB
OA2
2OB
=
2OB·AB
OA2
=2·
OB
OA
·
AB
OA
=2cosα·sinα．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形．
（1）根据题意设出圆的半径为r，根据切线的性质，勾股定理即可推出r的长度，即可推出A点的坐标，
（2）作辅助线，取OA的中点D，过点D作OA的垂线，交OB于点C，连接AC，则OC=AC，推出∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α，
（3）根据（1）和（2）推出的结论，即得：sinα=
AB
OA
，cosα=
OB
OA
，sin2α=
AB
AC
，然后根据△ABO∽△CDO，推出OC=
OD·OA
OB
，由OD=
1
2
OA，推出sin2α=2·
OB
OA
·
AB
OA
=2cosα·sinα．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，关键在于熟练并正确地运用各性质定理，认真进行等量代换．
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