试题

（2007·丰台区二模）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠ADC=30°，AC=6，求BC的长．

（1）证明：连接OC，则∠CAO=∠ACO．
∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO．
∴∠EAC=∠ACO．∴AE∥OC．（1分）
∴∠DCO=∠E=90°，即DE⊥OC．
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵∠ADC=30°，
∴∠EAD=60°．
∴∠BAC=

1

2

∠EAD=30°（3分）
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（4分）．
∴BC=AC·tan∠BAC
=6×tan30°
=2

3

（5分）
（1）证明：连接OC，则∠CAO=∠ACO．
∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO．
∴∠EAC=∠ACO．∴AE∥OC．（1分）
∴∠DCO=∠E=90°，即DE⊥OC．
∴DE是⊙O的切线．（2分）

（2）解：∵∠ADC=30°，
∴∠EAD=60°．
∴∠BAC=

1

2

∠EAD=30°（3分）
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（4分）．
∴BC=AC·tan∠BAC
=6×tan30°
=2

3

（5分）