试题

题目：
青果学院（2007·青浦区二模）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E，且AB=10，cosA=
4
5
．求：（1）线段AC的长；（2）sin∠CBE的值．
答案
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB，AE=EB．
在Rt△ACB中，cosA=
AC
AB
，AC=10×
4
5
=8；

（2）在Rt△ADE中，cos=
AD
AE
，AE=
5
4
5
=
25
4
，
∴CE=AC-AE=
7
4
．
∴在Rt△CBE中，sin∠CBE=
CE
BE
=
7
25
．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AD=DB，AE=EB．
在Rt△ACB中，cosA=
AC
AB
，AC=10×
4
5
=8；

（2）在Rt△ADE中，cos=
AD
AE
，AE=
5
4
5
=
25
4
，
∴CE=AC-AE=
7
4
．
∴在Rt△CBE中，sin∠CBE=
CE
BE
=
7
25
．
考点梳理
解直角三角形；线段垂直平分线的性质．
（1）在直角三角形ABC中，利用解直角三角形的知识求解；
（2）在直角三角形ADE中，根据解直角三角形的知识求得AE的长，从而求得CE的长，即可求解．
此题综合运用了线段垂直平分线的性质、解直角三角形的知识．
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