试题

（2008·奉贤区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC=10，点B到AC的距离为4，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交CD边于G，连接HG．
（1）求∠ACB的正切值；
（2）设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S，若点E的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）当t取何值时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切？

解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则BM=4，
由题意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM²=AM·MC，
设MC=x，则AM=10-x，
∴4²=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合题意，舍去）．
∴tan∠ACB=

BM

MC

=

4

2

=2；

（2）①当点H在直角边AD上时，如原题图．
由题意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB=

HE

EA

=2，
∴HE=2t，同理 GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=

1

2

（

1

2

t+2t）（10-2t）=-

5

2

t²+

25

2

t，
即S=-

5

2

t²+

25

2

t（0＜t≤2）；
②当点H在直角边CD上，且H在G的左边时，如备用图1．
由题意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=

1

2

[

1

2

（10-t）+

1

2

t]（10-2t）=25-5t，
即S=25-5t（2＜t＜5）；
③当点H在直角边CD上，且H在G的右边时，如备用图2．
由题意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=

1

2

[

1

2

（10-t）+

1

2

t]（2t-10）=5t-25，
即 S=5t-25（5＜t≤8）；

（3）设以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切，
那么应满足EH+FG=EF．
①当点H在直角边AD上时，
∵HE=2t，GF=

1

2

t，EF=10-2t，
∴2t+

1

2

t=10-2t，解得t=

20

9

．
∵0＜t≤2，∴t=

20

9

不合题意，舍去；
②当点H在直角边CD上，且H在G左边时，
∵HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，EF=10-2t，
∴

1

2

（10-t）+

1

2

t=10-2t，
解得t=

5

2

，符合题意；
③当点H在直角边AD上，且H在G右边时，
∵HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，EF=2t-10，
∴

1

2

（10-t）+

1

2

t=2t-10，
解得t=

15

2

，符合题意；
综上，可知当t=

5

2

或

15

2

时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切．
解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则BM=4，
由题意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM²=AM·MC，
设MC=x，则AM=10-x，
∴4²=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合题意，舍去）．
∴tan∠ACB=

BM

MC

=

4

2

=2；

（2）①当点H在直角边AD上时，如原题图．
由题意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB=

HE

EA

=2，
∴HE=2t，同理 GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=

1

2

（

1

2

t+2t）（10-2t）=-

5

2

t²+

25

2

t，
即S=-

5

2

t²+

25

2

t（0＜t≤2）；
②当点H在直角边CD上，且H在G的左边时，如备用图1．
由题意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=

1

2

[

1

2

（10-t）+

1

2

t]（10-2t）=25-5t，
即S=25-5t（2＜t＜5）；
③当点H在直角边CD上，且H在G的右边时，如备用图2．
由题意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=

1

2

[

1

2

（10-t）+

1

2

t]（2t-10）=5t-25，
即 S=5t-25（5＜t≤8）；

（3）设以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切，
那么应满足EH+FG=EF．
①当点H在直角边AD上时，
∵HE=2t，GF=

1

2

t，EF=10-2t，
∴2t+

1

2

t=10-2t，解得t=

20

9

．
∵0＜t≤2，∴t=

20

9

不合题意，舍去；
②当点H在直角边CD上，且H在G左边时，
∵HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，EF=10-2t，
∴

1

2

（10-t）+

1

2

t=10-2t，
解得t=

5

2

，符合题意；
③当点H在直角边AD上，且H在G右边时，
∵HE=

1

2

（10-t），GF=

1

2

t，EF=2t-10，
∴

1

2

（10-t）+

1

2

t=2t-10，
解得t=

15

2

，符合题意；
综上，可知当t=

5

2

或

15

2

时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切．