试题

（2008·海淀区二模）已知：如图，在⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于点B，直线PE过A点，若PB=PA．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）在满足（1）的情况下，当∠APB=120°，B、C分别是⊙O的三等分点，连接BC，且PB=2

3

时，求BC弦的长．

（1）证明：连接OA、OB、OP．
∵⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°．
在△APO和△BPO中

OA=OB OP=OP AP=BP

∴△APO≌△BPO．
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴OA⊥PA，且OA为⊙O半径，
∴PE是⊙O的切线．

（2）解：连接OC．
∵

BC

等于⊙O圆周的三分之一，
∴∠COB=120°．
由（1）可知∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=120°
∴四边形APBO中，∠AOB=60°，
由切线长定理可得∠OPB=

1

2

∠APB=60°，
在Rt△OPB中，由PB=2

3

，得OB=PB· tan∠OPB=2

3

×

3

=6．
∵∠COB+∠AOB=120°+60°=180°，
∴A、O、C在一条直线上．
∴AC为⊙O直径，且AC=2OB=12．
∴∠ABC=90°， ∠C=

1

2

∠AOB=30°．
在Rt△ABC中，BC=AC· cos∠C=12×

3

2

=6

3

．
若有其它方法酌情给分．
（1）证明：连接OA、OB、OP．
∵⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°．
在△APO和△BPO中

OA=OB OP=OP AP=BP

∴△APO≌△BPO．
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴OA⊥PA，且OA为⊙O半径，
∴PE是⊙O的切线．

（2）解：连接OC．
∵

BC

等于⊙O圆周的三分之一，
∴∠COB=120°．
由（1）可知∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=120°
∴四边形APBO中，∠AOB=60°，
由切线长定理可得∠OPB=

1

2

∠APB=60°，
在Rt△OPB中，由PB=2

3

，得OB=PB· tan∠OPB=2

3

×

3

=6．
∵∠COB+∠AOB=120°+60°=180°，
∴A、O、C在一条直线上．
∴AC为⊙O直径，且AC=2OB=12．
∴∠ABC=90°， ∠C=

1

2

∠AOB=30°．
在Rt△ABC中，BC=AC· cos∠C=12×

3

2

=6

3

．
若有其它方法酌情给分．