试题

（2008·静安区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BD=1，∠CBD的正切值为2．
（1）求AD的长；
（2）如果点E在以B为圆心BA为半径的弧上，CE∥AB，求sin∠EBA的值．

解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，∴tan∠ACD=tan∠CBD=2．（2分）
在Rt△BCD中，CD=BD·tan∠CBD=1×2=2．（2分）
在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=2×2=4．（2分）

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，（1分）
∵CE∥AB，CD⊥AB，∴EH=CD=2，（1分）
∵点E在以B为圆心BA为半径的弧上，∴BE=AB=AD+BD=5，（1分）
∴sin∠EBA=

EH

BE

=

2

5

．（1分）
解：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，∴tan∠ACD=tan∠CBD=2．（2分）
在Rt△BCD中，CD=BD·tan∠CBD=1×2=2．（2分）
在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=2×2=4．（2分）

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，（1分）
∵CE∥AB，CD⊥AB，∴EH=CD=2，（1分）
∵点E在以B为圆心BA为半径的弧上，∴BE=AB=AD+BD=5，（1分）
∴sin∠EBA=

EH

BE

=

2

5

．（1分）