试题

已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，且2a＞b．求cos∠DBA的值．

解：以A为圆心，以a为半径作圆．延长BA交⊙A于E点，连接ED；（1分）
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；
∵AC=AD，∴∠DCA=∠CDA，
∴∠DAE=∠CAB；（2分）
在△ABC和△DAE中，

AD=AC ∠DAE=∠CAB AE=AB

；
∴△CAB≌△DAE，（3分）
∴ED=BC=b（4分）
∵BE是直径，
∴∠EDB=90°
在Rt△EDB中，
ED=b，BE=2a，
由勾股定理得ED²+BD²=BE²
∴BD=

BE2-ED2

=

(2a)2-b2

=

4a2-b2

（5分）
∴cos∠DBA=

BD

BE

=

4a2-b2

2a

．（6分）
解：以A为圆心，以a为半径作圆．延长BA交⊙A于E点，连接ED；（1分）
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；
∵AC=AD，∴∠DCA=∠CDA，
∴∠DAE=∠CAB；（2分）
在△ABC和△DAE中，

AD=AC ∠DAE=∠CAB AE=AB

；
∴△CAB≌△DAE，（3分）
∴ED=BC=b（4分）
∵BE是直径，
∴∠EDB=90°
在Rt△EDB中，
ED=b，BE=2a，
由勾股定理得ED²+BD²=BE²
∴BD=

BE2-ED2

=

(2a)2-b2

=

4a2-b2

（5分）
∴cos∠DBA=

BD

BE

=

4a2-b2

2a

．（6分）