试题

已知：如图，AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，点C是弦AB上一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD．
（1）求弦AB的长；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似？

解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB·cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴AB=2BE=2

3

，

（2）连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°，

（3）∵∠BCO=∠DAB+∠D，
∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
∴∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，
∴AC=

1

2

AB=

3

，
∴当AC=

3

时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似．
解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB·cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴AB=2BE=2

3

，

（2）连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°，

（3）∵∠BCO=∠DAB+∠D，
∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
∴∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，
∴AC=

1

2

AB=

3

，
∴当AC=

3

时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似．