试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC=60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=
40
40
，BC=
20
3
20
3
．
答案
40

20
3

青果学院解：连接CO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∵OD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
∴OD是三角形的中位线，
有AC=2OD=20．
∵弧AC=60°，
∴∠AOC=60°．
∵OA=OC，
∴等腰三角形△AOC是等边三角形，
OA=AC=OC=20，∠A=60°，∠B=30°，
∴直径AB=40，
BC=AB·cos30°=20
3
．
考点梳理
圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理；解直角三角形．
连接CO．由AB是⊙O的直径，则∠C=90°．由OD⊥BC可证点D是BC的中点，所以OD是三角形的中位线，有AC=2OD=20．由弧AC=60°得∠AOC=60°，又OA=OC，所以等腰三角形△AOC是等边三角形，OA=AC=OC=20，∠A=60°，∠B=30°，即直径AB=40，可求BC=ABcos30°=20
3
．
本题利用了直径对的圆周角是直角，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，垂径定理求解．
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