试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=
3
5
，AB=5，求AD的长．
答案
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAD+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE=α，
在Rt△ABC中，
cos∠BAC=cosα=
AB
AC
=
3
5
，
∵AB=5
∴AC=
25
3
，
∴BC=
AC2-AB2
=
(
25
3
)2-52
=
20
3
，
∴AD=BC=
20
3
．
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAC+∠DAC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CAD+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE=α，
在Rt△ABC中，
cos∠BAC=cosα=
AB
AC
=
3
5
，
∵AB=5
∴AC=
25
3
，
∴BC=
AC2-AB2
=
(
25
3
)2-52
=
20
3
，
∴AD=BC=
20
3
．
考点梳理
解直角三角形；勾股定理；矩形的性质．
根据矩形的性质得到∠BAC+∠DAC=90°，而∠CAD+∠ADE=90°，则∠BAC=∠ADE=α，在Rt△ABC中，利用余弦的定义得到cos∠BAC=cosα=
AB
AC
=
3
5
，于是可计算出AC，然后利用勾股定理可计算出BC，从而得到AD．
本题考查了解直角三角形：通过已知的边和角求直角三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了勾股定理、三角函数的定义以及矩形的性质．
计算题．
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