试题

题目：
青果学院已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠B=30°，∠C=45°，AC=4．求BC的长和tan∠ADC的值．
答案
青果学院解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEC中，
∵AC=4，
∴cos∠C=
EC
AC
，即cos45°=
EC
4
，
∴EC=4×cos45°=2
2
，
又∵∠C=45°，
∴AE=EC=2
2
，
在Rt△AEB中，
tan∠B=
AE
BE
，即tan30°=
2
2
BE
，
∴BE=
2
2
3
3
=2
6
，
∴BC=BE+EC=2
6
+2
2
，
∴DE=DC-EC=
1
2
BC-EC=
1
2
（2
6
+2
2
）-2
2
=
6
-
2
，
∴tan∠ADC=
AE
DE
=
2
2
6
-
2
=
3
+1．
青果学院解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEC中，
∵AC=4，
∴cos∠C=
EC
AC
，即cos45°=
EC
4
，
∴EC=4×cos45°=2
2
，
又∵∠C=45°，
∴AE=EC=2
2
，
在Rt△AEB中，
tan∠B=
AE
BE
，即tan30°=
2
2
BE
，
∴BE=
2
2
3
3
=2
6
，
∴BC=BE+EC=2
6
+2
2
，
∴DE=DC-EC=
1
2
BC-EC=
1
2
（2
6
+2
2
）-2
2
=
6
-
2
，
∴tan∠ADC=
AE
DE
=
2
2
6
-
2
=
3
+1．
考点梳理
解直角三角形．
首先作AE⊥BC，构建直角三角形，然后根据直角三角形特殊角的三角函数，即可推出EC和AE的长度，再根据∠B的正切值推出BE的长度，既而推出BC和C、BD的长度，便知DE=DC-EC=
1
2
BC-EC=
6
-
2
，根据正切的定义，即可推出tan∠ADC的值．
本题主要考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，关键在于根据题意作出辅助线构建直角三角形，推出AE，DE的长度．
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