试题

题目：
青果学院已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，F是AD上一点，CF⊥EF于点F交AB于点E，
DC
CF
=
1
2
．求AE的长．
答案
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°．
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC．
∴
AE
DF
=
AF
DC
，
∵
DC
CF
=
1
2
，DC=4，
∴∠DFC=30°，
∴FD=
DC
tan30°
=
4
tan30°
=4
3
，
∴AF=10-4
3
，
∴AE=
AF-FD
CD
=
5-2
3
2
．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°．
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC．
∴
AE
DF
=
AF
DC
，
∵
DC
CF
=
1
2
，DC=4，
∴∠DFC=30°，
∴FD=
DC
tan30°
=
4
tan30°
=4
3
，
∴AF=10-4
3
，
∴AE=
AF-FD
CD
=
5-2
3
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．
由在矩形ABCD中，CF⊥EF，易证得△AEF∽△DFC；又由
DC
CF
=
1
2
．根据相似三角形的对应边成比例，易得∠DFC=30°，由三角函数的性质，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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