试题

题目：
青果学院如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD．
（1）试说明：△ABC∽△DBA；
（2）若BD=3
2
，AB=2
6
，求BC的长；
（3）若
AD
BC
=
1
3
，求∠C的度数．
答案
解：（1）∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠DAB，
∴∠B=∠C=∠DAB，
∴△ABC∽△DBA；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴
BC
AB
=
AB
DB
，青果学院
即
BC
2
6
=
2
6
3
2
，
∴BC=4
2
；

（3）设AD=a，则BC=3a，BD=a，
作AH⊥BC于点H，则H为BC的中点，
∴DH=BH-BD=
3
2
a-a=
1
2
a，
在Rt△ADH中，cos∠ADH=
DH
AD
=
1
2
a
a
=
1
2
，
∴∠ADH=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADH，∠B=∠BAD，
∴∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°．
解：（1）∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠DAB，
∴∠B=∠C=∠DAB，
∴△ABC∽△DBA；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴
BC
AB
=
AB
DB
，青果学院
即
BC
2
6
=
2
6
3
2
，
∴BC=4
2
；

（3）设AD=a，则BC=3a，BD=a，
作AH⊥BC于点H，则H为BC的中点，
∴DH=BH-BD=
3
2
a-a=
1
2
a，
在Rt△ADH中，cos∠ADH=
DH
AD
=
1
2
a
a
=
1
2
，
∴∠ADH=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADH，∠B=∠BAD，
∴∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）由等边对等角，可得∠B=∠C，∠B=∠DAB，即可求得△ABC∽△DBA；
（2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长；
（3）由三角函数的性质，可求得∠B的值，即可求得∠C的值．
此题考查了等腰三角形中的等边对等角定理，以及相似三角形的判定与性质和三角函数的性质．此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意细心．
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