试题

题目：
青果学院如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线m滚动，当△ABC滚动一周时，到△DEF位置．设△ABC滚动240°时，点C的位置为C1，△ABC滚动480°时，点A的位置为点A1．根据三角函数正切的两角和公式tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanα·tanβ
，∠CAC1+∠CAA1的度数是
30
30
°．
答案
30

青果学院解：设△ABC滚动240°时，C点的位置为C1，△ABC滚动480°时，A点的位置为A1．
∵正△ABC的边长为2，
∴C1H=MC1×tan60°=2×
3
2
=
3
即正△ABC的高为
3
，
MH=
1
2
MD=
1
2
×2=1，
∴tan∠CAC1=
3
2+2+1
=
3
5
，
tan∠CAA1=
3
4×2+1
=
3
9
，
∴由公式tan（α+β）=
tanα+tanβ
1-tanα·tanβ
，
得：tan（∠CAC1+∠CAA1），
=
tan∠CAC1+tan∠CAA1
1-tan∠CAC1·tan∠CAA1
，
=（
3
5
+
3
9
）÷（1-
3
5
×
3
9
）
=
3
3
．
∴∠CAC1+∠CAA1=30°．
故答案为30°．
考点梳理
解直角三角形；等边三角形的性质；旋转的性质．
过点C1作C1H⊥AF，利用锐角三角函数的定义得出C1H的值及MH的值，再利用三角函数的定义求出tan∠CAC1与tan∠CAA1的值，然后通过等量代换求出∠CAC1+∠CAA1的度数．
本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，旋转的性质，正确判断△ABC滚动的轨迹，利用转化思想和等量代换思想是解答此题的关键．
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