试题

如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE=，△PMN的面积是．

解：（1）由切线长定理知：AE=EM；
设AE=EM=x，则DE=4-x，CE=4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4-x）²+4²=（4+x）²，解得x=1；
故AE=1．

（2）同（1）可求得BF=FN=1，则DF=CE=5，DE=CF=3；
则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP=∠CDP，即DP=CP，
∴PM=PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME=1，则ER=ME·cos∠DEC=

3

5

，MR=ME·sin∠DEC=

4

5

；
过P作PG⊥MN于G，则RG=GT=2，MG=2-RM=

6

5

；
易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，
∴

S△REM

S△GPM

=（

RM

MG

）²=

4

9

；
∵S_△REM=

1

2

MR·RE=

1

2

×

4

5

×

3

5

=

6

25

，
∴S_△PMG=

6

25

×

9

4

=

27

50

，
故S_△PMN=2S_△PMG=

27

25

．