试题

题目：
青果学院学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，也可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=
1
2
．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）填空：sad60°=
1
1
，sad90°=
2
2
，sad120°=
3
3
；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是
0＜sadA＜2
0＜sadA＜2
；
（3）如图，已知sinA=
3
5
，其中A为锐角，试求sadA的值；
（4）设sinA=k，请直接用k的代数式表示sadA的值为
2-2
1-k2
．
2-2
1-k2
．
．
答案
1

2

3

0＜sadA＜2

2-2
1-k2
．

解：（1）1；
2
；
3
；

（2）0＜sadA＜2；

（3）过B作BD⊥AC于D，如图，青果学院
∴sinA=
3
5
=
BD
AB
，
设BD=3x，AB=5x，
∴AD=
(5x)2-(3x)2
=4x，
∴DC=5x-4x=x，
在Rt△BDC中，BC=
BD2+DC2
=
(3x)2+x2
=
10
x，
∴sadA=
BC
AB
=
10
5
；

（4）如上图，
sinA=k，BD=kAB，
∴AD=
AB2-BD2
=
1-k2
AB，
∴DC=AC-AD=（1-
1-k2
）AB，
∴BC=
BD2+DC2
=
2-2
1-k2
AB，
∴sadA=
BC
AB
=
2-2
1-k2
．
故答案为
2-2
1-k2
．
考点梳理
解直角三角形．
（1）当A=60°，三角形为等边三角形，底边与腰相等；当A=90°，三角形为等腰直角三角形，底边是腰的
2
倍；当A=120°，作底边上的高，底角为30°，易求得底边是腰的
3
倍，然后根据等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）即可得到答案；
（2）0°＜A＜180°，根据三角形三边的关系得到两腰之和大于底边即可得到0＜sadA＜2；
（3）过B作BD⊥AC于D，设BD=3x，AB=5x，利用勾股定理计算出AD=4x，则DC=x，在Rt△BDC中根据勾股定理求出BC，然后根据顶角的正对定义求值即可；
（4）与（3）的计算方法一样．
本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和勾股定理求出三角形中未知的角和边．
计算题．
找相似题