试题

题目：
在凸四边形ABCD中，M是AB的中点，O是对角线AC与BD的交点，延长MO与CD交于Q点，求证：
S△BCO
S△ADO
=
CQ
DQ
．
答案
证明：S△AOM=AO×OM×sinAOM÷2=AM×hAB÷2，
S△BOM=BO×OM×sinBOM÷2=BM×hAB÷2，
且M为A、B的中点，故AM=BM．
∴S△AOM=S△BOM，
∴AO×sinAOM=BO×sinBOM，
∴AO：BO=sinBOM：sinAOM…1
∵S△COQ=OC×OQ×sinCOQ÷2=CQ×hDC÷2…2
S△DOQ=DC×OQ×sinDOQ÷2=DQ×hDC÷2…3
且∠AOM=∠COQ，∠BOM=∠DOQ，
故S△COQ=OC×OQ×sinAOM÷2，S△DOQ=DC×OQ×sinBOQ÷2，
S△COQ：S△DOQ=OC×sinAOM：（OD×sinBOM），
将1式代入上式得S△COQ：S△DOQ=OC×OB：（OD×OA），
将2式÷3式亦可得：S△COQ：S△DOQ=CQ：DQ，
∴
OB×OC
AO×OD
=
CQ
DQ
，
∵
S△BOC
S△AOD
=
OB×OC×sinBOC
2
÷
AO×OD×sinAOD
2
，
且∠BOC=∠AOD，
∴
S△BCO
S△ADO
=
CQ
DQ
．
证明：S△AOM=AO×OM×sinAOM÷2=AM×hAB÷2，
S△BOM=BO×OM×sinBOM÷2=BM×hAB÷2，
且M为A、B的中点，故AM=BM．
∴S△AOM=S△BOM，
∴AO×sinAOM=BO×sinBOM，
∴AO：BO=sinBOM：sinAOM…1
∵S△COQ=OC×OQ×sinCOQ÷2=CQ×hDC÷2…2
S△DOQ=DC×OQ×sinDOQ÷2=DQ×hDC÷2…3
且∠AOM=∠COQ，∠BOM=∠DOQ，
故S△COQ=OC×OQ×sinAOM÷2，S△DOQ=DC×OQ×sinBOQ÷2，
S△COQ：S△DOQ=OC×sinAOM：（OD×sinBOM），
将1式代入上式得S△COQ：S△DOQ=OC×OB：（OD×OA），
将2式÷3式亦可得：S△COQ：S△DOQ=CQ：DQ，
∴
OB×OC
AO×OD
=
CQ
DQ
，
∵
S△BOC
S△AOD
=
OB×OC×sinBOC
2
÷
AO×OD×sinAOD
2
，
且∠BOC=∠AOD，
∴
S△BCO
S△ADO
=
CQ
DQ
．
考点梳理
解直角三角形；三角形的面积．
因为
S△BOC
S△AOD
=
OB×OC×sinBOC
2
÷
AO×OD×sinAOD
2
，且∠BOC=∠AOD．
所以要证
S△BCO
S△ADO
=
CQ
DQ
，
须证
OB×OC
AO×OD
=
CQ
DQ
．
根据面积来证即可．
本题用到的知识点为三角形的面积=任意两边的积×夹角的正弦值÷2，等底同高的两个三角形的面积相等．
证明题．
找相似题