试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），若tan∠DCE=
1
3
，求
a
b
的值．
答案
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB．
∴BC2=BD·BA，
即：BD=
BC2
BA
=
a2
a2+b2
．
由等面积法知：
1
2
ab=
1
2
AB·CD，
∴CD=
ab
a2+b2
．
又因为CE是中线，
则DE=BE-BD=
1
2
a2+b2
-
a2
a2+b2
=
b2-a2
2
a2+b2
．
在Rt△CDE中，tan∠DCE=
DE
CD
=
1
3
，
b2-a2
2
a2+b2
ab
a2+b2
=
1
3
，
得：3a2+2ab-3b2=0，
解得，a=
-2b±
4b2-4×3×(-3b2)
6
=
-1±
10
3
b，

于是有
a
b
=
10
-1
3
，或
a
b
=
-
10
-1
3
（舍负值）．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB．
∴BC2=BD·BA，
即：BD=
BC2
BA
=
a2
a2+b2
．
由等面积法知：
1
2
ab=
1
2
AB·CD，
∴CD=
ab
a2+b2
．
又因为CE是中线，
则DE=BE-BD=
1
2
a2+b2
-
a2
a2+b2
=
b2-a2
2
a2+b2
．
在Rt△CDE中，tan∠DCE=
DE
CD
=
1
3
，
b2-a2
2
a2+b2
ab
a2+b2
=
1
3
，
得：3a2+2ab-3b2=0，
解得，a=
-2b±
4b2-4×3×(-3b2)
6
=
-1±
10
3
b，

于是有
a
b
=
10
-1
3
，或
a
b
=
-
10
-1
3
（舍负值）．
考点梳理
射影定理；勾股定理；解直角三角形．
在Rt△ABC中，利用射影定理得到BC2=BD·BA，近而得到BD的表达式，由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系DE=BE-BD，再根据正切函数的定义，建立关于a、b的关系式．
本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待．
计算题．
找相似题