试题

题目：
已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长．
答案
解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB=
AC
2
，MD=
AC
2
，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．

（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，青果学院
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=
3
，MD=2，
从而可知
BD=
1+(2+
3
)2
=2
2+
3

∴BN=
2+
3
．
由Rt△BMN可得：
MN=
22-(
2+
3
)2
=
2-
3
．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=
1
2
AC，MB
1
2
AC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM=
180-30
2
=75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，则BE=
3
x，AD=2
2
，AB=2
3
，
∴由Rt△ABE可得：（2
3
）2=（
3
x）2+（x+2
2
）2，
解得x=
2-
3
，则BD=2
2-
3
，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=2   DN=
2-
3
．
由Rt△MND可得：
MN=
22-(
2-
3
)2
=
2+
3
．
解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB=
AC
2
，MD=
AC
2
，所以MB=MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．

（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，青果学院
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB=30°，
∵AC=4，∴BM=2，
∴BE=1，EM=
3
，MD=2，
从而可知
BD=
1+(2+
3
)2
=2
2+
3

∴BN=
2+
3
．
由Rt△BMN可得：
MN=
22-(
2+
3
)2
=
2-
3
．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=
1
2
AC，MB
1
2
AC，
∴MD=MB，
∵∠BAC=30°，∠CAD=45°，
∴∠BMC=60°，∠DMC=90°，
∴∠BMD=30°，
∴∠BDM=
180-30
2
=75°，
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°，
令ED=x，则BE=
3
x，AD=2
2
，AB=2
3
，
∴由Rt△ABE可得：（2
3
）2=（
3
x）2+（x+2
2
）2，
解得x=
2-
3
，则BD=2
2-
3
，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD=2   DN=
2-
3
．
由Rt△MND可得：
MN=
22-(
2-
3
)2
=
2+
3
．
考点梳理
确定圆的条件；勾股定理；垂径定理；解直角三角形．
（1）根据题意画出图形，再作出辅助线构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行证明；
（2）注意要分二种情况讨论：即B、D在AC两侧和B、D在AC同侧．
本题综合考查了等腰三角形的性质和解直角三角形的方法，同时考查了分类讨论思想．
开放型；分类讨论．
找相似题