试题

题目：
已知D是锐角△ABC外接圆劣弧
BC
的中点，弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：
（1）EC：CB的值；
（2）cosC的值；
（3）tan
B
2
的值．
答案
青果学院解：（1）∵弧BD=弧DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴
EC
BE
=
AC
AB
=
1
2
，
∴
EC
CB
=
1
3
．
答：EC：CB的值是
1
3
．

（2）作BF⊥AC于F，
∵
EC
BC
=
1
3
，
AB
EC
=
3
1
，
∴BA=BC，
∴F为AC中点，
∴cosC=
CF
BC
=
1
4
．
答：cosC的值是
1
4
．

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，
由勾股定理得：BF=
BC2-CF2
=
15
CF，
∴tan
B
2
=
OM
BM
=
CF
BF
=
15
15
．
答：tan
B
2
的值是
15
15
．
青果学院解：（1）∵弧BD=弧DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴
EC
BE
=
AC
AB
=
1
2
，
∴
EC
CB
=
1
3
．
答：EC：CB的值是
1
3
．

（2）作BF⊥AC于F，
∵
EC
BC
=
1
3
，
AB
EC
=
3
1
，
∴BA=BC，
∴F为AC中点，
∴cosC=
CF
BC
=
1
4
．
答：cosC的值是
1
4
．

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，
由勾股定理得：BF=
BC2-CF2
=
15
CF，
∴tan
B
2
=
OM
BM
=
CF
BF
=
15
15
．
答：tan
B
2
的值是
15
15
．
考点梳理
圆周角定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．
（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出
EC
BE
=
AC
AB
，代入求出即可；
（2）作BF⊥AC于F，求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；
（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题主要考查对圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，角平分线性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
证明题．
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