试题

如图，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP=4

3

．四边形ABCD是菱形，点A在边PQ上，B、C在边QO上（B点在C点的左侧），且∠ABC=60°．设BQ=x．
（1）试用含x的代数式表示菱形ABCD的边长；
（2）当点D在线段OP上时，求x的值；
（3）设菱形ABCD与△OPQ重合部分的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（4）连接PD、OD．对于不同的x值，请你比较线段OD与PD的大小关系，直接写出结论．

解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；（2分）

（2）如图①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=

1

2

x，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+

1

2

x
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4

3

，
∴QO=12．∴

5

2

x=12
x=

24

5

；（2分）

（3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=

3

2

x
∴当0＜x≤

24

5

时，
y=x×

3

2

x=

3

2

x2（2分）
如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=

5x

2

-12，EF=

3

(

5x

2

-12)·
·当

24

5

＜x≤6时·，
y=

3

2

x²-

3

2

（

5x

2

-12）²=-

21 3

8

x²+30

3

x-72

3

；

（4）如图③，作OP的中垂线
当0＜x＜4时，OD＜DP；
当x=4时，OD=DP；
当4＜x≤6时，OD＞DP．
解：（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的边长为x；（2分）

（2）如图①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=

1

2

x，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+

1

2

x
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4

3

，
∴QO=12．∴

5

2

x=12
x=

24

5

；（2分）

（3）如图①，过A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=

3

2

x
∴当0＜x≤

24

5

时，
y=x×

3

2

x=

3

2

x2（2分）
如图②，设CD与0P相关交于点E，AD与OP相交于点F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=

5x

2

-12，EF=

3

(

5x

2

-12)·
·当

24

5

＜x≤6时·，
y=

3

2

x²-

3

2

（

5x

2

-12）²=-

21 3

8

x²+30

3

x-72

3

；

（4）如图③，作OP的中垂线
当0＜x＜4时，OD＜DP；
当x=4时，OD=DP；
当4＜x≤6时，OD＞DP．