试题

（2013·高淳县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=

4

5

．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：CD=BD；
（2）求

CE

AE

的值；
（3）若过点D的直线与⊙O相切，且交AB的延长线于点P，交AC于点Q，求

CQ

BP

的值．

（1）证明：连结AD，
∵点D在以AB为直径作半圆上，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴CD=BD；
（2）连结EB，
∵点E在以AB为直径作半圆上，
∴BE⊥AC，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=

4

5

，
∴

AE

AB

=

4

5

，
设AE=4k，则AB=5k，
又∵AB=AC，
∴CE=AC-AE=5k-4k=k，
∴

CE

AE

=

k

4k

=

1

4

；
（3）连结OD，
∵CD=BD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵过点D的直线PQ与⊙O相切，
∴OD⊥PQ，
过B作BH⊥PQ，H为垂足，
∴BH∥OD∥AC，
在△DBH和△DCQ中，

∠BHD=∠CQD=90° ∠BDH=∠CDQ BD=CD

，
∴△DBH≌△DCQ（AAS），
∴QC=BH，
在Rt△PBH中，cos∠HBP=

BH

BP

，
∴

BH

BP

=cos∠HBP=cos∠BAC，
∵cos∠BAC=

4

5

，
∴

BH

BP

=

4

5

，即

CQ

BP

=

4

5

．
（1）证明：连结AD，
∵点D在以AB为直径作半圆上，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴CD=BD；
（2）连结EB，
∵点E在以AB为直径作半圆上，
∴BE⊥AC，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=

4

5

，
∴

AE

AB

=

4

5

，
设AE=4k，则AB=5k，
又∵AB=AC，
∴CE=AC-AE=5k-4k=k，
∴

CE

AE

=

k

4k

=

1

4

；
（3）连结OD，
∵CD=BD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵过点D的直线PQ与⊙O相切，
∴OD⊥PQ，
过B作BH⊥PQ，H为垂足，
∴BH∥OD∥AC，
在△DBH和△DCQ中，

∠BHD=∠CQD=90° ∠BDH=∠CDQ BD=CD

，
∴△DBH≌△DCQ（AAS），
∴QC=BH，
在Rt△PBH中，cos∠HBP=

BH

BP

，
∴

BH

BP

=cos∠HBP=cos∠BAC，
∵cos∠BAC=

4

5

，
∴

BH

BP

=

4

5

，即

CQ

BP

=

4

5

．