试题

题目：
青果学院如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，BC=3．求：
（1）求sin∠BAC的值；
（2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长；
（3）求tan∠ADC的值．（结果保留根号）
答案
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠BAC=
BC
AB
=
3
6
=
1
2
；

（2）∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
而OA=OB，
∴OE为△ABC的中线，
∴OE=
1
2
BC=
3
2
；

（3）在Rt△ABC中，AC=
AB2-BC2
=3
3
，
∴tanB=
AC
BC
=
3
3
3
=
3
，
∵∠ADC=∠B，
∴tan∠ADC=
3
．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠BAC=
BC
AB
=
3
6
=
1
2
；

（2）∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
而OA=OB，
∴OE为△ABC的中线，
∴OE=
1
2
BC=
3
2
；

（3）在Rt△ABC中，AC=
AB2-BC2
=3
3
，
∴tanB=
AC
BC
=
3
3
3
=
3
，
∵∠ADC=∠B，
∴tan∠ADC=
3
．
考点梳理
垂径定理；勾股定理；解直角三角形．
（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据正弦的定义求解；
（2）根据垂径定理由OE⊥AC得AE=CE，然后根据三角形中位线定理求解；
（3）先根据勾股定理计算出AC=
3
，再根据正切的定义得到tanB=
3
，然后根据圆周角定理求解．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
计算题．
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