试题

题目：
青果学院如图，将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一个绕点B顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），若两正方形重叠部分的面积为
4
3
3
cm2，则这个旋转角度为
30
30
度．
答案
30

青果学院解：设A′D′与CD的交点为E，连接BE．
∵A′B=BC，BE=BE，
∴Rt△A′BE≌Rt△CBE．（HL）
∴∠A′BE=∠EBC，且S△BA′E=S△BCE=
2
3
3
．
在Rt△BCE中，BC=2，则：
S△BCE=
1
2
×2×CE=
2
3
3
，
∴CE=
2
3
3
．
∴tan∠EBC=
EC
BC
=
3
3
，即∠EBC=30°．
∴∠A′BC=2∠EBC=60°，∠ABA′=90°-∠A′BC=30°．
故旋转的角度为30°．
考点梳理
旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的性质；全等三角形的判定；正方形的性质；解直角三角形．
设A′D′与CD的交点为E，连接BE；由于A′B=BC，易证得△A′BE≌△CBE，因此两者的面积相等，即可根据△CBE的面积求得CE的值，从而通过解直角三角形求出∠CBE、∠CBA′的度数，进而可求得旋转角的度数．
此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的面积、解直角三角形等相关知识，综合性较强．
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